Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

70 Zweiter Abschnitt
Wenn ferner jede der Zahlen o a, y,... zum entsprechenden Modulus a, b, c,... relative Primzahl ist, so ist
auch t relativ prim zu abc... und umgekehrt. Denn hätte
- um das erstere zu zeigen - t einen Primtheiler d mit
abc... gemeinsam, also auch mit einem der Moduln a, b, c,...
etwa mit a, so würde aus der Congruenz -_ a (mod. a) nothwendig folgen, dass auch a und a diesen Theiler d gemeinsam hätten, gegen die Voraussetzung. Umgekehrt aber würde,
sobald eine der Zahlen a,, y,... mit ihrem zugehörigen
Modulus, etwa a mit a einen gemeinsamen Theiler d hätte,
auch t diesen Theiler mit a und folglich mit abc... haben;
sind daher a und abc.,. relativ prim, so sind's auch a und a,
p und b, y und c u. s. w. - Da nun schon gezeigt ist, dass
verschiedenen Systemen a, p,... auch nach dem Modulus
abc... incongruente Werthe des h entsprechen, können wir
jetzt neben dem vorigen Satze folgenden engeren Satz aussprechen: Durchlaufen die Zahlen a, p, y,... reducirte
Restsysteme nach den Moduln a, b, c...resp., so
durchläuft auch
-ar + /s + yt -- I
ein reducirtes Restsystem (mod. abc...).
Hieraus fliesst, wenn wir uns wieder des Zeichens T(m)
bedienen, um die Anzahl der Glieder zu bezeichnen, aus denen
ein reducirtes Restsystem (mod. m) besteht, sofort nachstehende sehr wichtige Gleichung:
(33) c(abc...) = (a) p (b). p(c).
welche gilt, so oft a, b, c,... relative Primzahlen
sind; denn das Produkt zur Rechten giebt ja die Anzahl der
Combinationen der angegebenen Zahlen a, ß, y,..., und
diese muss der Anzahl der Glieder in einem reducirten Restsysteme (mod. abe...) gleich sein. Man kann diese Formel
auch leicht mittels des allgemeinen für die Funktion q (m)
gegebenen Ausdruckes (Formel (30) vor. Abschnitts) bestätigen; doch erweist sich der bedingende Zusatz: so oft
a, b, c,.. relative Primzahlen sind - als durchaus nothwendig.