Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Von den Congruenzen. 69
r = 560r'- 1 (mod. 9), r'= 5, r 2800
s- 144s'- 1 (mod. 35), s'= 9, s = 1296
t=315t'= 1 (mod. 16), t'=3, t- 945.
Hiernach ist
t = r +- ßs + yt
= 47600 - 5184 + 31185 = 73601
und
x 73601 (mod. 5040)
oder einfacher
x 3041 (mod. 5040)
wäre die Lösung der Aufgabe.
10. Die soeben angewandte Methode zur Lösung der gestellten Aufgabe zeigt nicht nur ihre Lösbarkeit in dem gedachten Falle und empfiehlt sich nicht nur durch die gleichmässige Behandlung der verschiedenen Forderungen, sondern
sie gestattet auch, sehr wichtige Folgerungen zu ziehen.
Denken wir uns in den Congruenzen (29) statt der Reste
a, ß, y,... ein zweites, davon verschiedenes System von
Resten a', ', ',... gesetzt, der Art, dass nicht gleichzeitig
(32) a'- a (mod. a), ß' - (mod. b),..
sein soll, so ist auch unschwer einzusehen, dass die entsprechende Zahl
~'== c'r + P's + r't +
nicht congruent sein kann mit t (mod. abc...). Denn sonst
wäre sie ja a auch nach jedem der Moduln a, b, c,... einzeln
congruent, und die eben ausgeschlossene Gleichzeitigkeit der
Congruenzen (32) würde die Folge davon sein. Hieraus
schliessen wir das Resultat: Wenn die Zahlen a, ß, y,...
nach jedem der Moduln a, b, c,... resp. ein vollständiges Restsystem durchlaufen, so durchläuft die Zahl
e —= + +s + rt+...
gleichfalls ein vollstänldiges Restsystem nach dem
Modulus abc...; denn sie erhält abc... unter einander
(mod. abc...) incongruente Werthe.