Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Von den Congruenzen. 63
Q ri = m (mod. n),
c. h. x = ri eine Lösung der gegebenen Congruenz. Nicht
minder aber wird jede andere ganze Zahl x, welche ri (mod. n)
congruent ist, diese Congruenz erfüllen, sodass man unendlich
viel Lösungen derselben erhält durch die Formel
x ri (mod. n).
Da sie aber sämmtlich ein- und derselben Restelasse angehören,
und in den Congruenzen (mod. n) alle Individuen derselben
Restclasse für einander eintreten können und sich also nur
wie eine einzige Zahl verhalten, so sieht man jene unendlich vielen unter einander congruenten Lösungen
nur für eine einzige Wurzel an. Und in gleicher Weise
rechnet man auch bei anderen Congruenzen nur solche
Lösungen als verschiedene Wurzeln, die nach dem Modulus
incongruent sind.
Nach diesem Sprachgebrauche kann man dann z. B. den
am Schlusse von No. 5 bewiesenen Satz ganz einfach dahin
aussprechen, dass die Congruenz (14) höchstens m verschiedene Wurzeln habe. Und das eben gewonnene Ergebniss kann in den Satz gefasst werden: dass eine Congruenz von der Art (24), in welcher der Coefficient
der Unbestimmten relative Primzahl zum Modulus
ist, stets eine und nur eine einzige Wurzel hat. Denn
wäre x =- r noch eine zweite Wurzel, r also eine mit ri (mod. n)
incongruente Zahl, welche der Congruenz genügt, so hätte man
gleichzeitig
ri - mn, r -_ m' (mod. n),
also
Q (r - ri) - 0 (mod. n),
d. h. das Produkt müsste durch n theilbar sein, während doch
nach den Voraussetzungen der erste Faktor relativ prim gegen
n und der zweite nicht durch n theilbar ist.
8. Etwas anders verhalten sich die Congruenzen
ersten Grades von der Form (22), bei welchen der
Coefficient q der Unbestimmten mit dem Modulus n
einen grössten gemeinsamen Theiler d> l hat. Eine
solche, wenn sie überhaupt möglich war, war gleichbedeutend
mit der andern: