Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Von den Congruenzen. 61
zweitens a ein Element der Gruppe ist, so gehören, der Definition der letzteren gemäss, sämmtliche Produkte (20) ihr an,
und müssen sie erfüllen. Wenn dagegen c kein Element der
Gruppe ist, so kann überhaupt keins jener Produkte zu dieser
gehören, weil aus einer Gleichheit von der Form
a ai -- al
die folgende:
a - ad - a, a-i
a k i
lervorginge, in welcher a?"i der Einheit äquivalent, das Produkt ak a~i- aber mit einem gewissen Elemente ah der
Gruppe identisch wäre, sodass man einfacher
d. i. einen Widerspruch gegen die Voraussetzungen erhielte.
7. Von letzterem Satze machen wir nun einige sehr
wichtige Anwendungen auf die Restclassen (mod. n). Multipliciren wir die Restclassen (16), desgleichen auch die relativ
primen Restclassen (17) mit irgend einer zu n relativ primen
Restclasse P, in Bezug auf welche nach der am Schlusse von
No. 3 gemachten Bemerkung die Multiplikation einpaarig ist,
so werden, dem Satze zufolge, die Produkte
PRo, PR1E PR... PRn,
resp.
PP1, PP2,... PPo(n)
wieder - von der Reihenfolge abgesehen - mit den Restclassen (16) resp. (17) identisch sein. Mit anderen Worten:
wenn Q den Repräsentanten von P bedeutet, so müssen
die Produkte
(21) Qro, eQ 2,... Qrnresp.
(21 a) QQ1, Q2,.. Q(QJ(n),
in gewisser Reihenfolge genommen, den Zahlen
r0, Ir, r 2 ** * rn-1
resp.
Qii ) congr t s.2
(mod. n) congruent sein.