Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Von den Congruenzen. 59
das Produkt von irgend zwei Elementen der Reihe (17) ist
wieder ein Element dieser Reihe, w. z. b. w.
Aus der Definition der Gruppe fliessen nun unmittelbar
einige Folgerungen, welche zunächst abgeleitet werden sollen.
Wir setzen dabei die Multiplikation für die Zahlen oder Elemente, aus denen die Gruppe besteht, als einpaarig und associativ voraus. Sei also
(19) a, a, a2,... a i_
irgend eine Gruppe von in Zahlen oder Elementen. Die aufeinanderfolgenden Potenzen a, a2, a3,... gehören, der Definition der Gruppe gemass, sämmtlich zu derselben; da aber die
Anzahl ihrer Glieder nur gleich Am, die der Potenzen aber unbegrenzt ist, müssen nothwendig gewisse der letztern mit einander identisch sein, z. B. au av, wobei L > v angenommen
werden darf, sodass man, wenn die positive Zahl y - v =
gesetzt wird, die Gleichheit auch so schreiben kann:
a.* a?' - av
oder auch
al' a~ a —
Bezüglich der Multiplikation mit av spielt hiernach das Element ad vollkommen die Rolle der Einheit; es thut dies aber
auch bei der Multiplikation mit irgend einem Gliede der
Gruppe iberhaupt. Denn jedenfalls ist
ai. c' 6 = —,i a' ",
wofür man schreiben kann:
(ai * a6) * av D- ai a
und folglich wegen der vorausgesetzten Einpaarigkeit der
Multiplikation auch
ai ~ ad - i;
und in gleicher Weise ist
aV+6 ai = av ai
d. h.
a ' (ad ai) =- a",
folglich auch
ac * a, ai.
Also: in jeder Gruppe giebt es ein Element (es sei
dies das Element a), welches die Rolle der Einheit bei