Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

58 Zweiter Abschnitt
ganze Zahlen sind, z. B. die in Wurzeln der einfachen Gleichung xm = 1, die sogenannten }mteu Einheitswurzeln El, e2,... Uz, so bilden diese offenbar eine Gruppe; denn, wenn ei
mit ~l, wo für k auch der Werth k i zulässig ist, multiplicirt wird, so entsteht ei. k, und da sowohl em = 1, als auch
k = 1 ist, so wird auch (ti )m = 1, d. i. auch ei k eine mt1
Einheitswurzel sein. - Wir brauchen aber bei Anwendung
des Gruppenbegriffes wieder gar nicht an eigentliche Zahlen
zu denken, sondern können ihn auch dann anwenden, wenn
wir statt der letztern irgend welche Elemente haben, die wie
Zahlen nach bestimmten Rechnungsregeln verknüpft werden
sollen, wenn nur für diese Elemente die Multiplikation in bestimmter Weise definirt ist. Z. B. können wir unter Zahl dabei die Restclassen (mod. n) verstehen, und in der That ist
leicht einzusehen, dass die sämmtlichen Restclassen
(mod. n) eine Gruppe bilden. Denn, wenn
(16) Ro, B1, 2?2, "' ndie n Restclassen (mod. n) bezeichnen, und
r0 r12 r 22 *. n-l
sind irgend welche Repräsentanten derselben, so haben wir
unter dem Produkte Ri - Rk zweier Restclassen wieder eine ganz
bestimmte Restclasse R/ verstanden, diejenige nämlich, zu
welcher die Zahl rirk (mod. n) gehört, der Art, dass
ri rik -r,, (mod. n)
ist. Das Produkt gehört also wieder der Reihe (16) an.
Desgleichen, wenn wir nur die gp(n) zu n relativ
primen Restclassen
( 17) P, P,.. P. (n)
betrachten, und nennen ihre Repräsentanten
(18) Qi )2 * Q * ()
so bilden auch sie wieder eine Gruppe. Denn das Produkt Pi Pk ist wieder eine bestimmte Restklasse, die dadurch
charakterisirt ist, dass ihr die Zahl Q q angehört, welche
offenbar zu n relativ prim, also einer Zahl Qe des reducirten
Restsystems (18) congruent ist; demnach ist Pa, PiPk, d. h.