Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Von den Congrnenzen. 57
wobei f2(x) eine ganze Funktion vom m-2 2" Grade bezeichnet. Hieraus folgte für (15) die neue Gestalt:
f(x) - (X - C ) ) ( fx (x) (mod. P),
also für jedes ganzzahlige x auch (mod.p). Nun würde a,,_-2
der Congruenz
f2(x) - (mod. )
genügen, u. s. w., und so käme man schliesslich zu einer Congruenz von der Form:
f(x) -E fm * (x - a1) (x - a,) *'' (x - am) (mod. P),
wo fm eine ganze Funktion vom Oten Grade, d. i. ein von x
unabhängiger constanter Faktor sein würde, der, dem Sinne
einer solchen Congruenz zufolge, dem höchsten Coefficienten
links, d. i. ao, (mod. p) congruent sein müsste. Für jedes
ganzzahlige x würde sich hieraus
f(x) - a (x - a,) (x - c2) '' * ( - rnm) (mod. p)
und folglich, wenn x - oa gewählt wird,
aO (a - al) (a- a)... (a - a,) - 0 (mod. p)
ergeben. Es müsste demnach das Produkt zur Linken, in
welchem nach den Voraussetzungen kein Faktor durch die
Primzahl p theilbar sein kann, durch p aufgehn, was gegen
den Fundamentalsatz verstösst, den wir früher bewiesen haben.
6. Wir führen jetzt einen allgemeinen Begriff ein, der
nicht nur in der Zahlentheorie, sondern auch in mancherlei
anderen Gebieten der Mathematik eine grosse Rolle spielt:
den Begriff der Gruppe. Man nennt (endliche) Gruppe
eine endliche Reihe von Zahlen, welche die Eigenschaft hat, dass das Produkt irgend einer jener Zahlen
mit wieder irgend einer von ihnen, gleichviel, ob
diese zweite mit der erstern identisch ist oder nicht,
wieder eine Zahl derselben Reihe ist.
Dieser Begriff ist freilich ohne Nutzen, wenn wir die
Betrachtung auf ganze Zahlen beschränken, denn es giebt
keine endliche Reihe ganzer Zahlen, für welche er zuträfe.
Betrachten wir dagegen einmal sogenannte algebraische Zahlen,
d. i. die Wurzeln algebraischer Gleichungen, deren Coefficienten