Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Von den Congruenzen. 55
(12) f'(x) - 0 (mod. n)
für jeden ganzzahligen Werth von x.
Hat nun eine Congruenz
(13) f(x) - 0 (mod. n)
auch in dem Falle einen Sinn, wo nicht alle Coefficienten
von f(x) durch n theilbar sind, und welches ist dieser Sinn?
In der That, sie hat auch dann einen Sinn, nämlich den einer
zu lösenden Aufgabe. Nicht so, wie die Congruenz (12), wird
diese für jede ganze Zahl erfüllt sein; es bleibt im Gegentheil
von vornherein zweifelhaft, ob es ganze Zahlen x giebt, die
f(x) zu einer durch n theilbaren ganzen Zahl machen also
der Congruenz genügen. Demnach stellt uns eine Congruenz
(13), in welcher nicht alle Coefficienten durch n theilbar
sind, die Aufgabe, die etwa vorhandenen ganzzahligen Werthe
von x, welche ihr genügen - ihre Wurzeln -, zu suchen,
oder, kürzer gesagt: die Congruenz zu lösen. Die beiden
Congruenzen (12) und (13) unterscheiden sich also von einander, wie eine Identität von einer zu lösenden Gleichung.
Es entsteht aus dieser Aufgabe eine Theorie von ähnlichem Umfange wie die Lehre von der Auflösung der Gleichungen: nämlich die Lehre von den Congruenzen beliebigen
Grades und von ihrer Auflösung, und diese Lehre lässt sich
passender Weise ähnlich gliedern und anordnen, wie die der
Gleichungen, indem man zuerst die Congruenzen ersten Grades,
dann zweiten und höheren Grades betrachtet. Die ausführlichere Verfolgung dieser Richtung würde uns aber zu weit
von den Grundlehren der Zahlentheorie abführen, wir werden
uns im Folgenden ausschliesslich auf die Congruenzen ersten
Grades und eine einfache Gattung von solchen höheren Grades
beschränken müssen. Nur einen allgemeinen Satz über Congruenzen eines beliebigen Grades müssen wir hier einschalten,
werden jedoch dabei wieder die andere Beschränkung einführen, dass der Modulus n eine Primzahl p sei. Dieser Satz
lautet:
Eine Congruenz
(14) '(x) (mod. p),