Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

5-4 Zweiter Abschnitt
dann und nur dann (mod. M) zu derselben Restclasse gehörig,
wenn die entsprechenden Coefficienten in ihnen (mod. n) congruent sind, d. i. wenn die m + 1 Coefficienten in beiden dieselbe Restcombination darbieten. Demnach giebt es genau
soviel Restclassen (mod. M), als es solcher Restcombinationen (mod. n) giebt, nämlich n+l1. Diese Bestimmung setzt jedoch voraus, dass man auch solche Funktionen f(x) vom Grade m nennt, bei welchen aO 0 (mod. n)
ist, was man bei dieser Congruenzbetrachtung gewöhnlich
nicht thut, weil ja eine solche Funktion (mod. M) der
Funktion
a1 xn-1 + a-2?- 2 +.+ a
nur noch vom mn - 1te Grade congruent sein würde. Scheidet
man daher diese Funktionen von denjenigen m^ten Grades aus,
so fallen die nm" Restclassen, in welche sie sich dem obigen
zufolge vertheilen, von der zuvor bestimmten Anzahl fort, und
die eigentlichen Funktionen mten Grades zerfallen
(mod. M) in nm (n- 1) verschiedene Restclassen.
Unter diesen eigentlichen Funktionen mnte Grades (mod. MII)
pflegt man diejenigen hervorzuheben und als primär zu bezeichnen, bei welchen der Coefficient a - 1 (mod. n) ist.
Werden nur diese betrachtet, so können die übrigen m Coefficienten nur noch nI' verschiedene Restcombinationen (mod. n)
liefern und die Anzahl der Restelassen, in welche sich
die primären Funktionen mten Grades (mod. M) vertheilen, beträgt folglich nur ntn.
5. Nach (9) wird man, wenn alle Coefficienten der
Funktion f'(x) durch n theilbar sind, dies durch die Congruenz
(11) f'(x) - 0 (mod. M)
ausdrücken können, wobei x eine Unbestimmte bedeutet.
Welchen ganzzahligen Werth wir nun dieser auch beilegen
mögen, wir werden doch, da sämmtliche Coefficienten in f'(x)
durch n theilbar sind, als Werth von f'(x) dann nothwendig
eine gleichfalls durch n theilbare Zahl erhalten, und erschliessen demnach aus der Congruenz (11) das Bestehen der folgenden: