Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Von den Congruenzen. 53
wenigstens, wenn wir übereinkommen, zu den Funktionen mten
Grades auch diejenigen geringeren Grades als speciellen Fall
mitzurechnen, da alsdann die Summe und Differenz je zweier
Funktionen von der Art (8) nothwendig wieder eine solche
Funktion ist. Scheiden wir jedoch aus ihrer Gesammtheit alle
diejenigen aus, bei welchen die Coefficienten ai sämmtiTch
durch n theilbar sind, so bilden, wie man einsieht, auch diese
letztern wieder einen Modulus, den wir 1M nennen wollen.
Und nunmehr kann 'man zwei der Funktionen (8), etwa
f'(x) = ao xm + ai; xm-1l + + ailx + an,
f"(x) = ao'xm + a1xn' + + a —ix + a-,
congruent oder incongruent nennen (mod. 1), jenachdem ihr
Unterschied
(x) - f"(x) = (ao - a`-)xrn + (a; -- +. + a+m
dem Modulus ]M angehört oder nicht, d. h. in diesem Falle:
jenachdem die sämmtlichen Coefficienten dieser Differenz durch
n theilbar sind oder nicht. Das Zeichen
(9) /"(x) - f"(x) (mod. /M)
besagt mit andern Worten dasselbe, wie das System von gewöhnlichen Zahlencongruenzen
(10) ao =ao', a- aI',... a. c a, (mod. n).
Und für die so definirten Congruenzen (9) lassen sich
nun dieselben Sätze nachweisen, wie wir sie für gewöhnliche
Zahlencongruenzen gefunden haben. Zum Beispiel - hierauf
wollen wir uns beschränken - lassen sich alle Funktionen (8)
in eine endliche Menge von Restelassen vertheilen, indem man
in ein und dieselbe Restclasse stets diejenigen Funktionen zusammenfasst, welche (mod. M) congruent sind, wobei ersichtlich jede Funktion nur in eine bestimmte Restelasse kommen
kann; die Anzahl dieser Restclassen wollen wir hier bestimmen.
In der Funktion f(x) kann jeder der Coefficienten (mod. n)
einen der n Reste 0, 1, 2,... n - 1 lassen, und da sich
m +- 1 Coefficienten darin vorfinden, bieten dieselben im
Ganzen niz+l mögliche Restcombinationen der Coefficienten
dar. Zwei Funktionen f'(x) und f"(x) sind aber nach (10)