Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

52 Zweiter Abschnitt
System von Zahlen nun, welche diese charakteristische Eigenschaft haben, nennen wir, nach Dedekind's Vorgange*), einen Modulus von Zahlen; und
zwar brauchen die Zahlen, welche das System bilden, keineswegs ganze Zahlen zu sein, mit denen wir es hier zu thun
hatten, sondern können den allgemeinen Zahlengattungen angehören, welche der Algebra und Analysis entspringen; wir
brauchen die Elemente des Systems nicht einmal als eigentliche Zahlen vorauszusetzen, sondern als irgend welche Rechnungselemente, wie wir solche Elemente, die nach bestimmten
Regeln zur Summe und zur Differenz verknüpft werden können,
soeben in den Restclassen erkannt haben. Wenn nun M1
einen solchen Modulus von - eigentlichen oder uneigentlichen - Zahlen vorstellt, so kann man zwei
Zahlen resp. Elemente t, ' irgend welcher Art (mod. M)
congruent nennen, wenn ihre Differenz eine Zahl resp.
ein Element des Modulus Mist, genau so, wie es vorher
für die Congruenz von ganzen Zahlen mit Bezug auf einen
ganzzahligen Modulus geschehen ist. Verwendet man zum
Ausdrucke dieser Beziehung wieder das Zeichen
gI - t' (mod. l),
so werden, wie ohne Schwierigkeit zu erkennen ist, dieselben
drei letzten Sätze in Geltung bleiben, die wir in No. 2 für die
Zahlencongruenzen abgeleitet haben, vorausgesetzt, dass für
die gegenwärtig der Betrachtung unterliegenden Zahlen oder
Elemente die gewöhnlichen Rechnungsregeln Gültigkeit behalten. Wir wollen ein Beispiel dieser verallgemeinerten Congruenzbeziehung hier ausführlicher besprechen, welches in nächstem Zusammenhange mit
unserm eigentlichen Gegenstande steht.
Denken wir uns eine ganze Funktion von x vomn Grade
in mit ganzzahligen Coefficienten:
(8) f(x)= a0xm + a x'?z-1 + *** + a,1x + ain,
und eine ganze positive Zahl n. Alle diese Funktionen bilden
offenbar nach der Dedekind'schen Definition einen Modulus,
*) Vorlesungen über Zahlentheorie, 3. Aufl., pag. 479.