Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Von den Congruenzen. 51
die andere:
a =b,
eine Eigenschaft der gewöhnlichen Multiplikation, welche wir
kurz dadurch angedeutet haben, dass wir sie eine einpaarige
Operation nannten. Bei den Restclassen findet nun dasselbe
nicht immer statt; denn die Gleichheit. r== C'.r oder r C -- C'
würde nichts anderes besagen, als die Congruenz
cy - c'y (mod. n),
wenn c,. c', y beliebige Repräsentanten der drei Classen
C, C', r bezeichnen. Aus der Theilbarkeit der Differenz
cy- c'y = (c - c')y durch n folgt aber nur dann, dass
auch c - c' durch n theilbar, oder c - c' (mod. n) und folglich C- C' ist, wenn y relativ prim zu n ist, r also
eine der relativen Primclassen für den Modulus n bedeutet. Uebrigens ist hinzuzufügen, dass im Grunde doch
auch bei der gewöhnlichen Multiplikation ein analoger Vorbehalt gilt; denn aus den Gleichheiten (7) lässt sich a = b
auch nur unter der Voraussetzung erschliessen, dass m
nicht 0 ist.
4. Eine Erweiterung der Begriffe und der Operationen,
wie wir ihr hier begegnet sind, ist stets von der grössten Bedeutung für den Fortschritt der mathematischen Wissenschaft,
und bald werden wir in der That sehen, welche interessanten
Ergebnisse mittels der neuen Rechnungsweise sich herleiten
lassen.
Zunächst jedoch bleiben wir noch einen Augenblick bei
dem Begriffe der Congruenz stehen, um auch an diesem zu
zeigen, in wie beträchtlichem Maasse er sich erweitern lässt.
Wir nannten zwei Zahlen in, mi' (mod. n) conigruent, wenn
ihr Unterschied m'- in durch n theilbar ist oder derjenigen
Restclasse (mod. n) angehört, welche die sämmtlichen durch n
theilbaren Zahlen umfasst und als deren Repräsentanten wir
etwa die Null ansehen können. Die Zahlen dieser Classe
haben nun offenbar die Eigenschaft, dass Summe und
Differenz je zweier von ihnen, ob sie beide verschieden sind oder nicht, wieder eine von ihnen ist. Ein
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