Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Von den Congruenzen. 49
Die Verbindung der beiden letzten Bemerkungen mit einander führt zu einem allgemeinen Ergebnisse, das sie beide
in sich enthält. Sei f(x) eine ganze Funktion von x mit
ganzzahligen Coefficienten, nämlich:
f(x) == a-xa + ax"a -1 ** - {- + ax + a,
und seien die beiden Zahlen m, m' (mod. n) congruent,
so ist, behaupten wir, auch
(6) f(m')- f(in) (mod. n).
Denn durch wiederholte Anwendung der letzten Bemerkung
findet sich zunächst aus 1 n'- m auch
ai m' -i - ai mna~- (mod. n)
für jeden der Werthe i = 0, 1, 2,... a, und alsdann nach
der vorletzten Bemerkung durch Addition der diesen Werthen
von i entsprechenden Congruenzen die Richtigkeit der behaupteten.
3. Aber noch eine andere, bedeutungsvollere Bemerkung
können wir an die Sätze der vorigen Nummer knüpfen.
Denken wir uns irgend zwei Restclassen C und r (mod. n)
und greifen aus jeder ganz willkürlich ein Individuum, d. i.
eine darin enthaltene Zahl m resp. t heraus, so wird die
Zahl m + q- zu einer ganz bestimmten Restclasse gehören
oder eine solche repräsentiren, die wir S nennen wollen.
Nach der vierten Bemerkung voriger Nummer ist letztere
aber völlig unabhängig von der Wahl der Repräsentanten m, g
jener Classen; denn, wenn wir statt ihrer irgendwelche ihnen
(mod. n) congruenten, d. i. denselben Classen angehörigen
Zahlen m',,u' wählen, so gehört in'+ rE ' derselben Classe
an wie in + -t. Demnach ist die Classe S von der individuellen Wahl der Repräsentanten unabhängig und allein von
den Classen C und r selbst bestimmt. Man darf sie als
eine durch eine gewisse Verknüpfung dieser Classen entstandene Classe bezeichnen, und zwar, der Analogie und
der Art der Verknüpfung nach, als Summe der Classen C
und r, in Zeichen: S = C+ r, da die Zahlen von S entstehen, indem je eine Zahl von C mit je einer Zahl von r
durch Addition verknüpft wird; denn nicht nur entstand durch
Bachimann, Die Elemente der Zahlentheorie. 4