Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

48 Zweiter Abschnitt
wenn N das kleinste gemeinsame Vielfache der Moduln
n, ', n",... ist. In der That soll ja, den Annahmen zufolge, m'- m ein gemeinsames Vielfache der Moduln, also
nach No. 6 vor. Abschnittes durch das kleinste gemeinsame
Vielfache N derselben theilbar sein.
Hier ist insbesondere der Fall beachtenswerth, wo die
Moduln n, n', n,... relative Primzahlen sind. Nach der
Schlussbemerkung jener Nummer findet sich dann der Satz:
Zwei Zahlen, welche nach gegebenen, unter einander
relativ primen Moduln congruent sind, sind es auch
in Bezug auf den Modulus, welcher das Produkt der
ersteren ist.
Viertens. Zwei Congruenzen, welche in Bezug auf denselben Modulus stattfinden:
(4) nt- n,,'- (mod.n),
lassen sich, wie Gleichungen, zu einander addiren und von
einander subtrahiren, sodass
IU'+ E'= + r K (mocd. 2)
resp. ist. Denn nach der Annahme sind die Differenzen
n'- n, u'- ut durch n theilbar, gleiches wird also auch
gelten von den Zahlen
(mn'- ) + ((i'- n') - ('+ ) - (n + i).
Fünftens. Zwei Congruenzen, welche in Bezug auf denselben Modulus stattfinden, können auch wie Gleichungen in
einander multiplicirt werden, sodass aus den Congruenzen (4)
diese neue hervorgeht:
(5) m' -=- mEn (mod. 1n).
Denn nach der Annahme ist mz'- m theilbar durch n, folglich auch i,'(m'- ) -== 'm'- ~t'm, d. h.,u'tin - ^m'n (mod. n);
desgleichen ist, der Annahme zufolge, 'It- i und folglich
auch in(gt'- t) = ~'m - mg durch n theilbar, also
nx- = 'm (mod. n).
Die drei Zahlen mai, m'', ~'m sind also (mod. n) gleichrestig,
die Congruenz (5) mithin bewiesen.