Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

42 Erster Abschnitt
lässt sich mit Hilfe des vorigen Satzes sehr leicht
auch umgekehrt die Funktion f(n) durch f-Funktionen ausdrücken. Es ist nämlich
(26) t (n) =f(n) - f () + ( f(D) - / (f ") +...
(I) (II) (III)
In diesen einzelnen Summen von f-Funktionen hat das Argument je diejenigen Zahlenreihen zu durchlaufen, die in voriger
Nummer durch die den Summenzeichen beigefügten römischen
Ziffern bezeichnet worden sind.
Die Richtigkeit dieser Formel erkennt man sogleich mit
Hilfe des vorigen Satzes, wenn man überall die Funktionen /,
ihrer Definitionsgleichung (25) gemäss, durch eine Summe
von 4,-Funktionen ersetzt. Denn dadurch nimmt die Gleichung
(26) folgende Gestalt an:
4(n^) = 4((dc) -Z,(d) +Z (d- *,
d: n d: (I) d: (II)
in welcher die Summenzeichen der Reihe nach die Bedeutung
haben, dass d alle Theiler von n, alle Theiler der Zahlen (I),
alle Theiler der Zahlen (II) u. s. w. durchlaufen soll; man
kann also einfacher schreiben:
A B
wenn in der ersten Summe d alle Zahlen aus der Gruppe A,
in der zweiten alle Zahlen aus der Gruppe B durchläuft. Da
aber jede von n verschiedene Zahl ebenso oft in der ersten
wie in der zweiten Gruppe vorkommt, heben sich die entsprechenden 4-Funktionen in der Differenz beider Summen
auf und es bleibt von der ganzen rechten Seite der Gleichung
nur das d n entsprechende Glied ip(n) der ersten Summe
stehen, womit der Beweis der Formel (26) geliefert ist.
Um sogleich eine Anwendung dieser Formel zu geben,
die für uns von grösster Bedeutung ist, betrachten wir die
Reihe der Zahlen
1, 2, 3,... n-l, n,
welche positiv und nicht grösser als n sind. Wenn d irgend
einen Teiler von n bezeichnet, so befinden sich in dieser Reihe