Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Von der Theilbarkeit der Zahlen. 41
bezeichnet werden. Dann ist klar, dass jede Zahl, welche aus
n entsteht, wenn man es durch irgend eine Combination
solcher Zahlen theilt, den Theiler d haben wird, da sie alle
übrigen Primfaktoren von n ebenso oft, die Primfaktoren der
Reihe (24) aber mindestens so oft wie d enthält; dagegen
kann d nicht Theiler einer Zahl sein, welche aus n entsteht,
wenn man es durch eine auch andere Primfaktoren enthaltende
Combination theilt, da eine solche diese letztern weniger oft
als d enthalten würde. Hieraus folgt, dass d einmal in der
Reihe (0), kinal in der Reihe (I), in der Reihe (II) so oft, als
die Zahlen (24) zu zweien combinirt werden können, d. h.
i(kl- 1) mal, in der Reihe (III) so oft, als sie sich zu dreien
combiniren lassen, d. h. (k - 1) (- 2) mal, u. s. f. als Theiler
1.2.3
enthalten sein wird. Demnach findet sich, wenn man
k (k 1) k (k - 1) ( - 2) (k - 3)
a=l+t + ~1.2 + 12.3.4
b + ( 2k -1 ) (k - 2) - (7 - 2) (k - 3) (k - 4)
12-3 + 1.2.3 4 -+
setzt und die Reihen fortsetzt, bis sie abbrechen, d in der
Gruppe A genau amal, und bmal in der Gruppe B.
Nun wird behauptet, dass a = b sei. Dies folgt sofort,
wenn man in der Formel
(X - y)k = Xk -_ x y + k k(k1 - 1). X
k(k - ) (k- 2). 3
1.2.3 Y + 1
x =y == 1 setzt; und damit ist der Satz vollständig bewiesen.
11. Bedeuten nun f(n) und t(n) zwei zahlentheoretische FtInktionzen, d. h. Ausdrücke oder Grössen,
welche bestimmt sind, sobald man dem Argumente n einen
bestimmten ganzzahligen Werth ertheilt, und stehen sie zu
einander in der Beziehung, dass für jedes ganzzahlige n
(25) f(n) = (1P) + P(d) + ) +. o + (n)
ist, wenn 1, d, d',.. n die sämmtlichen Theiler von
n, Eins und n selbst mit inbegriffen, bezeichnen, so