Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Von der Theilbarkeit der Zahlen. 37
9. Eine andere, nicht uninteressante Anwendung der
obigen Formeln wollen wir machen, um einen Satz zu beweisen, welchen Catalan aus der Theorie der elliptischen
Funktionen gewonnen hat*), den Satz nämlich, dass der
Quotient
1. 2. 3... 2 a. 1.2.3... 2b
1.2....a. 1.2.3...(a+b).1.2.3...b
einer ganzen Zahl gleich ist.
Denken wir uns der Formel (18) entsprechend a in die
Gestalt gebracht:
(21) ca = a0, + a1p-P +. + -,1 a p + k,
worin für jedes i
(22) < a < p -
ist, und unter p irgend eine Primzahl verstanden werden soll.
Heisst dann m der Exponent der höchsten Potenz von p,
welche im Produkte 1. 2.3.. a aufgeht, so ist nach der
Formel (19)
(23) m- -- o
Aus (21) folgt aber
2a - 2 +o + - - + 2... + 2k-1 *'p -+ 2ak
und
p 2~o.p-1 + 2a.k-2 +... + 2 -i + p,
also, wenn
cak E ( )
gesetzt wird,
E() -= 2.pk +-1.l2 + 2 + 2k-2 p + 2~k-1 + a~.
Da den Ungleichheiten (22) zufolge 2ak nicht grösser als
2p- 2, also ak höchstens gleich 1 sein kann, erreicht
2aCk-1 + ak höchstens den Werth 2p - 1; setzt man daher
so ist c- _t nicht grösser als 1, und man findet
*) S. Nouv. annales de mathematiques, par Mr. Gerono, 1874.