Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

36 Erster Abschnitt
und hieraus
E >E +E E(
da ja möglicherweise die Bruchtheile, welche bei p, -, *
vernachlässigt werden, wenn man die grössten Ganzen herauszieht, zusammengenommen noch eine Einheit für iE() liefern
können. Schreibt man diese Formel so:
n' r'+ s'+ t'+ '-,
so folgt wieder
m } s' t'
und nun erst recht
E n E + E
oder
M 11 '+ s" + t" +..+
also
E(p)>E( ) S )+..+E
u. s. f. Nun bedeutet aber In'-+ "+-. den Exponenten
der höchsten Potenz von p, welche im Produkte 1. 2. 3...,
ebenso r'+ r"+ *.. den Exponenten der höchsten Potenz von
p, welche in 1.2. 3... r, s'+ s"+ * - e denjenigen der höchsten
Potenz, welche in 1. 2. 3... s aufgeht, u. s. w. Im Nenner
wird also p so oft aufgehen, wie es die Summe
(r'+-+...) + (s'+ s + *.) + **o
angiebt, welche Summe den obigen Ungleichheiten zufolge
sicher nicht grösser ist, als m'+ m"+ * *. Hiernach hebt sich
p aus dem Nenner gegen den Zähler heraus; und da gleiches
von jedem der Primfaktoren gilt, welche vorkommen können,
so fällt der Nenner durch Division überhaupt fort, der Bruch
wird demnach zu einer ganzen Zahl.
Ist insbesondere m eine Primzahl, so steht der Faktor in
im Zähler genau einmal, kommt aber im Nenner nicht vor,
da dort nur kleinere Zahlen stehen, wie in. Man findet daher
den Zusatz: Ist mn eine Primzahl, so ist der Quotient
(20) eine durch in theilbare ganze Zahl.