Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

32 EErster Abschnitt
n - ", aar' — v
ab ' ab
Nun ist aber der grösste Werth, welchen ar'+ r haben
könnte, a(b - 1) + a - 1 = ab - 1 < ab, und folglich
E (a9b).
Nach dieser allgemeinen Bemerkung ergiebt sich offenbar E()=E )2, 3 -- - (3) u. s. f. Demnach
wird der Exponent, der höchsten Potenz einer
Primzahl p, welche im Produkte 1.2.3...e aufgeht,
auch durch nachstehende Formel bestimmt:
(17a) E () + E (,) + -) *
welche sich sogleich für m = 1000, p =- 2 bestätigen lässt.
Vermittelst dieser Formel lasst sich der Exponent,u sehr leicht berechnen, wenn man die Zahl
m in einer gewissen Form voraussetzt, in welche sie
stets gebracht werden kann. Bezeichnen wir zunächst
mit p2 irgend welche (positive) ganze Zahl, so ist einleuchtend,
dass die aufeinanderfolgenden Potenzen p, p2, p3 jp,... stets
wachsende Zahlen sind, dass man also endlich zu einer Potenz
pa~+- gelangen muss, welche mz übersteigt, während p2C noch
darunter liegt, wobei auch der Fall eintreten kann, class
p? c -2n selbst wäre:
p" < m <r~+1.
Schalten wir nun, wenn. das Gleichheitszeichen nicht gilt,
zwischen 2pa und p"+1 = p.2 die Zwischenglieder 2.pa, 3p",... (? - 1)p ein, so wird n, wenn es nicht etwa einem der
letzteren gleich wäre, zwischen zwei aufeinanderfolgende derselben fallen:
a)? < in < (a + l)[
oder auch
m ==- ap q-, m' <fi?.
Verfährt man. bezüglich der Zahl m, ' in gleicher Weise, so
lässt sich eine Gleichung erhalten
m'ZI ^=== 6jö nL4" m 1f m P ^