Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Von der Theilbarkeit der Zahlen. 31
Fährt man in dieser Weise fort und beachtet, dass die Reihe
der Zahlen n, m', m",... nothwendig eine abnehmende ist,
also endlich einmal abbricht, so findet man als höchste Potenz
von p, welche in (15) aufgeht, die Potenz
pm'+ r-m"-m"+'+- ~ ~
oder als ihren Exponenten
(17)E + E ()+
Ist also z. B. im = 1000, p= 2, so giebt die Rechnung:
In'= E (1- ) 500,_ (00) =250
m' E (250) 125
m) - E (2E ) - 62
)1 31
mL() -- 27- ==- 31.
m I9 -E (2); 7
m(8) -E = 3
hier bricht die Rechnung ab, und demnach ist
- = 994,
d. h. im Produkte aller ganzen Zahlen von 1 bis 1000 geht
der Primfaktor 2 genau 994 mal auf.
Hierbei kann man aber die Zwischenzahlen m', ",.
vermeiden. Ist nämlich a irgend welche positive ganze Zahl
und n'=E(-), d. h. n —= -nq+-, r<a, so wird nun,
a a/ ~ aa
wenn b wieder eine beliebige positive ganze Zahl bezeichnet,
ab- =- b+ ab sein, folglich, wenn JE (1), d. ].
1 = '- + -, r'< b, gesetzt wird,