Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Von der Theilbarkeit der Zahlen. 29
worin allgemein ca eine Zahl der Reihe 0, 1, 2,.. di bezeichnet. Die grösste dieser Zahlen ist
(1 3 a) d -p *p1.) p2. )A
und jede andere von ihnen ist ein Theiler der letzteren.
Diese aber und umsomehr dann jede der Zahlen (13) geht
offenbar in jeder der gegebenen Zahlen auf, da sie keine
anderen Primfaktoren enthält als jede von den gegebenen,
einen jeden ihrer gemeinsamen Primfaktoren aber höchstens
so oft als jede einzelne der gegebenen Zahlen selbst. Man
hat also folgendes Ergebniss: Für beliebig viel gegebene
Zahlen giebt es einen grössten gemeinsamen Theiler,
der durch die Formel (13a) dargestellt wird, und alle
gemeinsamen Theiler der Zahlen stimmen mit den
sämmtlichen Theilern dieser letzteren Zahl überein.
Suchen wir umgekehrt eine Zahl n, in welcher alle gegebenen Zahlen aufgehen, also ein gemeinsames Vielfaches
der letztern. Da jede der Zahlen m, m', mn".. ein Theiler
von n sein soll, so können diese Zahlen keine andern Primfaktoren enthalten, als n, mit andern Worten: alle Primfaktoren p, p2, P,.. p. welche in den Zerlegungen der gegebenen Zahlen überhaupt vorkommen, müssen auch in m
enthalten sein, und jede von ihnen offenbar mindestens so oft,
als in jeder von jenen. Sind daher pE, p', p',.. p 'P die
höchsten Potenzen jener Primzahlen, welche in den Zerlegungen der gegebenen Zahlen iiberhaupt vorkommen, so
wird jedes gemeinsame Vielfache derselben durch jede der
genannten Potnzen theilbar, also ein Vielfaches von
(14) M -- P2 e2 Psein müssen. Die kleinste dieser Zahlen, nämlich M11 selbst,
ist aber offenbar auch ein Vielfaches jeder der gegebenen,
da sie durch jede der in ihnen vorkommenden Primzahlpotenzen theilbar ist, und man findet demnach folgendes Ergebniss: Alle gemeinschaftlichen Vielfachen beliebig
gegebener Zahlen stimmen überein mit den sämmtlichen Vielfachen des kleinsten gemeinschaftlichen
Vielfachen, welches sich durch die Formel (14) be