Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

28 Erster Abschnitt
Die Summe aller Zahlen n ist also gleich dem Werthe dieses
Produktes, welcher sich durch Berechnung der geometrischen
Reihen, welche die einzelnen Faktoren des Produktes bilden,
gleich
p2 -~1 1+ -+ t 1 iergiebt.
Die Anzahl der Theiler einer gegebenen Zahl hängt
also nicht von den Werthen ihrer Primfaktoren, sondern
nur von ihrer Häufigkeit ab, dagegen die Summe ihrer
Theiler sowohl von dem einen, als von der andern.
6. Hat man zwei oder mehr Zahlen in ihre Primfaktoren
zerlegt, so ist es leicht, auch ihre gemeinsamen Theiler
zu finden. Diese Methode zu ihrer Bestimmung ist zwar
keineswegs diejenige, welche sich praktisch am meisten empfiehlt, aber sie schliesst sich unsern theoretischen Grundlagen am natürlichsten an. Jeder gemeinschaftliche Theiler
aller gegebenen Zahlen m, m', m',... kann nämlich nach
dem- Vorigen aus keinen anderen Prinzahlen zusammengesetzt
sein als solchen, welche zugleich in jeder der Zahlen m, m',
i",... vorkommen, und kann eine solche, p, auch nicht öfter
enthalten, als jede der letztern. Diejenigen Primfaktoren der
einzelnen Zahlen m, mn, m",.., die nicht in ihnen allen
aufgehn, dürfen wir also bei Seite lassen; ist aber p~ die
niedrigste Potenz einer ihnen allen gemeinsamen Primzahl p,
welche in den Zerlegungen jener Zahlen sich findet, so darf
der gemeinschaftliche Theiler den Primfaktor p nicht öfter als
6'mal enthalten. Wenn ähnlicherweise P1 p, p,.. diejenigen
andern Primzahlen bezeichnen, welche in den Zerlegungen
aller gegebenen Zahlen sich finden, und 61, Ü2,... resp.
die niedrigsten Exponenten derselben, welche vorkommen,
so darf ein gemeinsamer Theiler aller gegebenen Zahlen
keine andern Primfaktoren enthalten als p, il pi2... p. und
diese nicht öfter als resp. 6,, 2,.... X mal. Er hat also
die Form
/(T 1\ 3a Xa2 aR
(i3) 2P ' l\ P;**-PA