Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Von der Theilbarkeit der Zahlen. 27
(10) j)ln pj ~.. pak
in welcher freilich nicht alle Faktoren p, p, _P2, " Pk wirklich vorkommen müssen, sodass ein oder der andere der Exponenten auch Null sein kann. Auf keinen Fall aber darf
einer der Exponenten ci grösser sein als der entsprechende
Exponent az in der Zerlegung von m; denn, enthielte schon
n den bezüglichen Primfaktor öfterss l ai mal, so müsste
dies für in umsomehr der Fall sein. Hiernach wird uns ersichtlicherweise der Ausdruck (10) alle Theiler von m geben
missen, wenn man darin allgemein, d. h. für jeden Index i,
ai die Werthe 0, 1, 2,... an
durchlaufen lässt. Die so entstehenden Zahlen sind aber auch
sämmtlich Theiler von m, da man schreiben darf:
a-a. a,- (X a.. ak
m1 = ns *, S * p, a p - k,
d. h. mn- nIN, wo
N p a.,p p ak
eine ganze Zahl ist, da die Exponenten a - a, a.
ak -,k nicht negativ sind. - Wird für die sämmtlichen Exponenten a, a,... ak ihr kleinster zulässiger Werth 0 gesetzt, so bedeutet n die Eins; werden ihnen ihre grösstzulässigen Werthe a, a,... ac resp. ertheilt, so bedeutet n
die Zahl m selbst.
Aus dieser Betrachtung findet sich unmittelbar, dass die
Anzahl aller Theiler der Zahl m, die Einheit und die
Zahl m selbst mitgerechnet, gleich ist dem Produkte:
(11) (a + 1) (a, + 1) (a2 + -1)... (ak + ).
Auch die Summe aller Theiler ist leicht anzugeben. Man hat hierzu nur zu beachten, dass der Ausdruck
für n nichts anderes ist als das allgemeine Glied der Entwicklung folgenden Produktes:
(1+p + P 23 - -+.. + l...+ -). (1+ ^ + +...p +...
*(1+ +^+**+Pk ** k)