Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

26 Erster Abschnitt
Annahme jedenfalls, wenn m' Primzahl wäre; und umsomehr,
wenn m' aus solchen Ausammengesetzt ist, da ja diese auch
Faktoren von m und erst recht < /m wären.
Schon Euclid*) hat bewiesen, dass die Anzahl der
Primzahlen unendlich gross ist. Wäre sie nämlich im
Gegentheil endlich, so heisse p die grösste aller Primzahlen,
sodass jede grössere Zahl aus p und den kleineren Primzahlen
sich zusammensetzen lassen müsste. Betrachtet man aber die
Zahl
N-= +1 +- 1.2.3- ( -—.. 1)p,
so lässt diese, da ihr zweiter Summande durch jede der Zahlen
1, 2, 3,... p und folglich durch jede der, nach der Annahme
nur vorhandenen Primzahlen aufgeht, durch jede dieser Primn
zahlen getheilt den Rest 1, d. h. sie ist durch keine dieser
Primzahlen theilbar und doch jedenfalls grösser als p, was
den Voraussetzungen widerspricht.
5. Von dem in der vorigen Nummer gewonnenen Fundamentalsatze werden wir nun eine Reihe von Anwendungen
machen. Die erste soll sich auf die Aufsuchung aller
Theiler einer gegebenen Zahl m beziehen. Da es sich
in der Zahlentheorie wesentlich um systematische Einsicht,
nicht um praktische Rechnungsmethoden handelt, werden wir,
wie hier von vornherein hervorgehoben werden mag, nicht
sowohl darauf sehen, dass die von uns angewandten Methoden
die zur Rechnung bequemsten, sondern dass sie theoretisch
am einfachsten und der Natur der Sache möglichst gemäss
sind. Und so setzen wir bei der vorliegenden Aufgabe voraus, dass die Zahl m bereits, wovon wir die Möglichkeit
gezeigt haben, in ihre Primfaktoren zerlegt, also
a Ca,., a..
sei. Ist nun n ein Theiler von m, also m n- q, so ist offenbar, dass jeder Primfaktor von n auch ein solcher von m sein
muss, mit anderen Worten, n kann keine andern Primfaktoren enthalten, als m selbst, und wird also, in solche
Faktoren zerlegt, jedenfalls die Form haben:
*) Eucl. Elementa lib. IX 20.