Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Von der Theilbarkeit der Zahlen. 25
werden kann; zuletzt dürfen dann aber auch links keine Primfaktoren mehr übrig bleiben, da die vereinfachte rechte Seite,
nämlich die Eins, durch keine Primzahl mehr aufgeht. Demnach stehen rechts und links gleichviel Primfaktoren und ihre
Gesammtheit rechts und links ist dieselbe.
Wie schon bemerkt, kann derselbe Primfaktor mehr als
einmal in der Zerlegung vorkommen; unsere Betrachtung zeigt
aber, dass er in jeder möglichen Zerlegung von mz gleich oft
vorkommen muss. Fasst man die gleichen Primfaktoren
in eine Potenz zusammen, so gewinnt man folgenden Hauptsatz von der Theilbarkeit ganzer Zahlen:
Jede zusammengesetzte (positive) Zahl m kann,
und zwar nur in einer, ganz bestimmten Weise als
ein Produkt aus Primzahlpotenzen dargestellt werden
der Art, dass
(9) = p.. k
gesetzt werden darf, wenn p, PL, P2,.. p verschiedene
Primzahlen, a, a., a,... ak positive ganze Exponenten
bedeuten.
Beispiel:
10725 = 52 31 111. 131.
Die Zwei ist offenbar eine Primzahl, alle übrigen Prinizahlen sind ungerade, denn die geraden Zahlen sind ja die
Vielfachen von 2. Ob aber eine gegebene ungerade Zahl in
Primzahl ist oder nicht, dies zu entscheiden, ist keineswegs
einfach, sobald m gross ist. Für kleinere Zahlen entscheidet
man es leicht durch Versuche; hierbei leistet folgende Beinerkung*) grosse Erleichterung, indem sie die Anzahl der
Versuche wesentlich beschränkt:
Giebt es unterhalb der Grenze JiX keine in m aufgehende Primzahl, so ist m selbst eine Primzahl. Denn,
wäre es im Gegentheil zusammengesetzt, so gäbe es auch
eine in m aufgehende Primzahl p, welche, der Annahme gemäss, grösser als /inm ist, sodass man setzen kann m = pm',
wo dann n'< j/m sein muss. Dies widerspricht aber der
*) S. Legendre., essai sur la theorie des nombres, 2. 6d. p. 5.