Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

24 Erster Abschnitt
n'- 'q"n", wo q" wieder eine ganze Zahl, u. s. f. Endlich
muss aber in der Reihe der Zahlen m, n', m",..., welche
fortwährend abnehmen, eine Primzahl auftreten, weil man im
entgegengesetzten Falle die Operationen ohne Ende würde
fortsetzen und eine unbegrenzte Reihe abnehmender positiver Zahlen würde bilden können, was nicht möglich ist.
Nennen wir also die gedachte Primzahl p, so ist m, da jede
der Zahlen m, ', m",... p ein Vielfaches der folgenden ist,
offenbar auch ein Vielfaches der letzten p, etwa m =-= mnp.
Ist nun hierin die ganze Zahl mn noch zusammengesetzt, so
kann man ähnlicherweise eine Gleichung nm = m2p' herleiten,
in welcher p' eine Primzahl, die möglicherweise gleich p ist,
und m2 eine ganze Zahl ist, und in derselben Weise wird m2,
wenn es noch zusammengesetzt ist, gleich m3p" gesetzt werden
können u. s. w. Aber auch hier endet nothwendigerweise einmal die Reihe der Operationen; denn die Zahlen in, mi, mn2
n3,..., von denen jede ein Vielfaches der folgenden ist, bilden
wieder eine Reihe abnehmender ganzer Zahlen. Aus den gewonnenen Gleichungen endlich erhält man aber die Beziehung:
in =-p p Pp.. p(S),
d. h. eine Zerlegung von m in lauter Primzahlfaktoren.
Hier ist eine Bemerkung wesentlich, dass nämlich nur
eine solche Zerlegung der Zahl m in Primfaktoren möglich
ist. Denn, wollte man im Gegentheil annehmen, es gäbe noch
eine zweite:
m = qq'q"... q(V)
so würde
q g (...V.) = pP" *.(u)
sein. Demnach wäre das Produkt links theilbar durch die
Primzahl p, folglich auch einer seiner Faktoren, z. B. q; diese
Zahl hat aber als Primzahl nur die beiden Faktoren 1 und q
mit deren zweitem also p übereinstimmen muss. Die obige
Gleichheit lässt sich also vereinfachen und auf die Form
bringen:.
t' "..2(V) = p p".** p(.-).
In gleicher Weise aber zeigt man von j edeni der Primfaktoren
rechts, dass er sich auch links vorfindet und daher fortgehoben