Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Von der Theilbarkeit der Zahlen. 23
Die letzte Folgerung kann auch unmittelbar mittels derselben anschaulichen Methode bewiesen werden, welche uns
zu dem Hauptsatze geführt hat. Gehen wir nämlich in dem
ursprünglichen n-Ecke vom Punkte 0 aus um immer h Stellen
weiter, so kommen wir, wenn h, n relativ prim sind, wie oben
gezeigt, zum Ausgangspunkte erst nach Berührung aller
übrigen Punkte zurück, d. h. wir erhalten ein zweites - den
Kreis verschiedene Male umfassendes - n-Eck, welches im
Anfangspunkte sich schliesst. Ist nun m gleichfalls relativ
prim zu in, so werden wir, wenn wir jetzt im neuen n-Ecke
vom Punkte 0 aus und immer um in Stellen weitergehen,
nach demselben Satze ein drittes, sich in 0 schliessendes n-Eck
erhalten, zu welchem wir offenbar aber auch sogleich gelangen
würden, wenn wir im ursprünglichen n-Ecke immer um Ahm
Stellen weiter gingen. Wenn wir also vom Punkte 0 aus
immer um hnm Stellen weitergehen, so kehren wir, mit andern
Worten, zum Ausgangspunkte erst zurück, nachdem alle übrigen
Punkte berührt sind, d. h. hm und n sind relativ prim.
4. Alle (positiven) ganzen Zahlen können wir in zwei
Arten zerfallen: Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen.
Man nennt eine Zahl eine Primzahl, sobald sie keinen
anderen Theiler hat als diejenigen beiden, welche jeder Zahl
eignen: die Einheit und sich selbst. Jede Zahl dagegen,
welche noch andere Theiler besitzt, heisst zusammengesetzt.
Ist p eine Primzahl und m irgend eine (positive)
ganze Zahl, so ist entweder m theilbar durch p oder
zu p relativ prim, da ein gemeinsamer Theiler beider, wenn
er nicht p selbst ist, nur die Einheit sein kann.
Ist ein Produkt mnh durch die Primzahl p theilbar,
so muss es wenigstens einer der Faktoren sein; denn
sonst wäre jeder dieser Faktoren relativ prim zu p und folglich, gegen die Voraussetzung, auch das Produkt.
Wenn nun m eine zusammengesetzte (positive) Zahl ist,
so hat sie, der Definition zufolge, mindestens einen Theiler
m'< n, welcher von 1 verschieden ist, sodass m = q'nt' gesetzt
werden darf, unter q' eine ganze Zahl verstanden. Wenn mn'
noch keine Primzahl ist, enthält es mindestens einen Theiler
nm"< n', der von 1 verschieden ist, und man kann setzen