Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Von der Theilbarkeit der Zahlen. 21
h = hA'. Stellen weiter, d. i. zum correspondirenden Punkte
des Abschnittes h', 2h... geht, so wird man, da h', n' relative Primzahlen sind, dem Vorigen zufolge zum Ausgangspunkte erst zurückkehren, nachdem die correspondirenden
Punkte aller Abschnitte durchlaufen sind. So werden also
nur n' Punkte, nicht mehr, nicht weniger, berührt
werden. Hiernach lässt sich ersichtlich das vorige Resultat
auch umkehren: h und n sind zwei Zahlen ohne gemeinsamen Theiler, wenn man durch Uebergang von einem
Punkte zu einem andern, der um h Stellen davon entfernt ist, u. s. w. erst nach Durchlaufen aller Punkte
zum Ausgangspunkte zurückkehrt.
Entkleidet man diese Sätze ihres anschaulichen Gewandes,
so giebt uns der erste den Euclidischen Fundamentalsatz*) von der Theilbarkeit der Zahlen:
1) Sind die Zahlen 7h, n relativ prim, so ist n1h das
kleinste Vielfache von 7, welches durch n theilbar ist.
2) Wenn aber h, nÖ-den grössten gemeinsamen
Theiler 6> 1 haben, sodass
h-=h'6, ß 'n =n n
und h', n' relativ prim vorausgesetzt werden können,
so ist n'h das kleinste Vielfache von h,- welches durch
n theilbar ist.
In der That ist dann n'h' das kleinste Vielfache von ',
welches durch n' theilbar ist, oder m = n' die kleinste Zahl,
für welche eine Gleichheit möglich ist von der Form mh'= qn',
eine Gleichheit, welche mit der andern: mh ==qn völlig gleichbedeutend ist.
Daher gilt 3) der Satz: h, n sind relativ prim, wenn
nh das kleinste Vielfache von h ist, das durch n theilbar ist.
3. Aus dem ersten dieser Sätze folgt leicht, dass in dem
Falle, wo h und n relativ prim sind, mh überhaupt nur für
solche m durch n theilbar wird, oder, wie man auch sagt,
durch n aufgeht, welche selbst Vielfache von n sind. Denn,
wäre im Gegentheil
*) Eucl. Elementa lib. VIL