Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Von der Theilbarkeit der Zahlen. 19
(7) 0,, 2, 3... (-.1)
unbegrenzt oft nach rechts und nach links hin sich wiederholen. Man sagt deshalb, die Reste der Zahlenreihe (1) bilden
einen Cyclus oder eine Periode. Dies Verhalten der Reihe
der Reste stellt man anschaulich dar, indem man sich ein
regelmässiges n-Eck*) einein Kreise einbeschrieben denkt und
an seine Eckpunkte die Zahlen (7) schreibt; bei jedem Umlaufe (etsocdog) um den Kreis (xvxtog) nämlich läuft die
Reihe der Reste einmal ab, und indem man in der einen oder
anderen Richtung zu wiederholten Malen den Kreis umläuft,
bildet man die Restreihe so wie sie der Zahlenreihe (1) zugeordnet ist.
Dies vorausgeschickt, sei h eine beliebige positive ganze
Zahl. Geht man von einem Eckpunkte des n-Ecks, etwa vom
Punkte 0 aus immer um h7 Stellen auf der Kreisperipherie
weiter, indem man, wenn nöthig, sie mehr als einmal umläuft,
so wird man nach Berührung verschiedener Eckpunkte
zum Anfangspunkte (0) zurückkommen, also ein gewisses
geschlossenes Polygon bilden. Denn, da nur eine endliche
Anzahl von Eckpunkten vorhanden ist, muss man jedenfalls
endlich zu einem der bereits berührten Punkte zurückkehren;
der erste so von neuem berührte Punkt muss aber der Ausgangspunkt sein; denn wäre es im Gegentheil ein späterer,
so hätte man von diesem aus ein in ihm zurücklaufendes
Polygon, und es müsste dann ein gleiches auch vom Ausgangspunkte aus möglich sein.
Wir nennen Sm die Anzahl der hierbei berührten Eckpunkte. Heisst ferner q die Anzahl der Umläufe, welche das
Polygon um die Peripherie machen muss, bis es zuerst sich
schliesst, so gewinnt man durch zwiefache Abzählung, je nach
den Seiten des Polygons und den Umläufen, der auf der
ganzen Strecke gelegenen Punkte die Gleichheit
(8) mh == qn.
Der Herleitung gemäss bedeutet hierbei mh das kleinste
Vielfache von h, welches zugleich ein Vielfaches von n
*) Diese sehr instruktive Methode, der wir hier uns anschliessen,
stammt von Poinsot her; s, seine in der Vorrede erwähnte Abhandlung.:~: