Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Erster Abschntitt.
Von der Theilbarkeit der Zahlen.
1. Den in der Einleitung abgeleiteten Regeln zur Addition, Subtraktion und Multiplikation von Zahlen genmss hat
die Reihe der Zahlen
(1)... -- 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,...
offenbar die Eigenschaft, dass die Summe, Differenz und das
Produkt einer beliebigen und einer gleichfalls beliebigen Zahl
der Reihe -- mögen beide verschieden von einander sein oder
nicht - wieder eine Zahl derselben Reihe sein wird. Man
pflegt dies kurz so auszudrücken: die Zahlen jener Reihe
reproduciren sich durch Addition, Subtraktion und
Multiplikation. In dieser Beziehung nennt man die Reihe
ein Zahlensystem. (Dedekind.)
Bezeichnen wir daher mit n irgend eine (positive) Zahl
und multipliciren die Zahlen der Reihe (1) sänmmtlich mit n,
so werden die entstehenden Produkte
(2)... - 3n, - 2n, - n, O, n, 2n, 3n,...
sammtlich jener Reihe angehören. Aber das Umgekehrte gilt
nicht, vielmehr finden sich in dem Zahlensysteme solche
Zahlen vor, welche in der Reihe (2) fehlen; denn, um in der
Reihe (1) von einer der Zahlen (2) zur nächstfolgenden, z. B.
um von qn zu (q + 1)n zu gelangen, muss man mit qn die
Einheit nmal durch Addition verknüpfen, so dass zwischen
qn und (q - 1)n noch n - 1 andere Zahlen enthalten sind,
nämlich
(3) qn+1, +2, qn+n-1 ).