Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

12 Einleitung.
Dasselbe können wir sowohl aus b Horizontalreihen oder
Vielheiten von je a Einheiten, als auch aus a Vertikalreihen
oder Vielheiten von je b Einheiten bestehend denken. Im
ersteren Falle enthält es, der Definition des Produktes gemäss,
ba, im zweiten Falle ab Einheiten, während doch die Anzahl
der überhaupt vorhandenen von der Reihenfolge in unserer
Auffassung unabhängig sein muss. Man findet daher die
Gleichung
(8) ab = a,
d. h. die Multiplikation ist commutativ.
Weil hiernach Multiplikator und Multiplikandus vertauscht
werden können, so bezeichnet man die Zahlen, welche das
Produkt bilden, mit indifferentem Namen als Faktoren desselben.
Nun wollen wir uns c solcher Rechtecke wie das obige
über einander denken, sodass sie gewissermassen Schichten
eines rechtwinkligen Parallelepipeds bilden. Jede horizontale
Schicht desselben enthält eine Vielheit von ab Einheiten, und
da es c solcher Schichten giebt, enthält das Parallelepiped
c(ab) = c(ba) Einheiten. Man kann es aber auch aus vertikalen Schichten zusammensetzen, und zwar in zwiefacher Richtung: von vorn nach hinten, und in seitlichem Sinne. Jede
jener Schichten ist eine Vielheit von ca Einheiten und ihre
Anzahl ist b; jede der Schichten der seitlichen Richtung ist
eine Vielheit von cb Einheiten und ihre Anzahl ist a; folglich drücken auch die Produkte b. (ca) = (ca) b und
a (cb) = (cb) a die Gesammtmenge der Einheiten im Parallelepiped aus, und man gewinnt die Gleichungen:
c(ab) = (ca)b
(Sa) c(ba)= (b)a,
von denen jede die Multiplikation als eine associative Operation erkennen lässt.
In gleicher Weise wie bei der Addition folgt nun für die
Multiplikation der allgemeine Satz: Um das Produkt von
n Zahlen a, a2,... an zu bilden, oder diese Zahlen mit
einander zu multipliciren, darf man zwei beliebige von ihnen
multipliciren, in der so entstehenden Reihe von n - 1 Zahlen