Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Die quadratischen Formen. 261
Für r r q dagegen ist (-) = + 1, also
Wenn (-) = 1, so ist (-)-l.
Hiermit sind von den Reciprocitätsfällen (94) der
zweite und dritte bewiesen.
2) Sei ferner r eine von q verschiedene Primzahl, welche
sich durch Formen der Determinante D q darstellen lässt,
d. h. es sei
Es werden dann genau dieselben Erwägungen Platz greifen,
wie vorher, und da auch in diesem Falle, wie gezeigt worden,
die Anzahl der Forinenclassen ungerade ist, gelangt man
analog der Gleichung (100) zu einer Gleichung von der Form
X2 qy2 = r2i2t B r,
aus welcher man, wenn sie als Congruenz (mod. q) betrachtet
wird, ( 1-) erhält.
Man findet also:
Wenn () =- 1, so ist ()=.
Wird in diesem Ergebnisse einmal unter r eine Primzahl p,
ein zweites Mal eine von q verschiedene Primzahl q' verstanden, so liefert es diese besonderen Schlüsse:
Wenn (-) = 1, so ist ()= 1.
Wenn (,f)=, so ist (f) 1.
Hiermit ist der fünfte und siebente Fall des Reciprocitätsgesetzes ebenfalls bewiesen.
Die übrigen aber ergeben sich aus den schon bewiesenen als unmittelbare Folgerungen. Denn, wäre,
um den vierten zu erledigen, (-=) 1, wenn (P) = - 1 ist,
so widerspräche dies dem fünften Falle; wäre ()n) richt, wie
es der sechste behauptet, gleich - 1, sondern (p) =1, wenn