Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

260 Vierter Abschnitt
1) Sei r eine von p verschiedene Primzahl, welche sich
durch Formen der Determinante D - p darstellen lasst,
d. h. es sei
Im allgemeinen wird dann r selbst zwar nicht durch die
Formen der Hauptclasse, sondern durch diejenigen einer
anderen Classe darstellbar sein; nennen wir eine solche Classe
K. Da jede Classe in dem im Hauptsatze der Nummer 27
bezeichneten Sinne zu einem gewissen Exponenten gehört,
wird in der Reihe der durch wiederholte Zusammensetzung
von K mit sich selbst entstehenden Classen
K' ]~2 K3 Jen
eine erste Classe Km sich finden*), welche der Hauptclasse
identisch ist, wobei in, da es nothwendig Theiler des in
No. 27 mit rn1 bezeichneten Exponenten ist, weil für jede
Classe dem allgemeinen Gruppensatze gemäss Kmi = H ist,
auch ein Theiler der Classenanzahl h, in unserem Falle also
eine ungerade Zahl 2/ + 1 sein muss. Aus der Formel (F)
in No. 24, welche die Verschiedenheit der Classen 1R, K'
nicht erfordert, folgt dann leicht, dass rm = r2iS+~ durch Kgn
d. i. durch I1, also auch durch die Hauptform selbst darstellbar sein und daher folgende Gleichung bestehlen wird:
(100) x2 + y2= r2., r
welche, als Congruenz (mod. p) betrachtet,
p
ergiebt. Man findet mithin:
Wenn ( 1P) =1, so ist (p) 1.
Wird in diesem Ergebnisse zuerst unter r eine Primzahl
p' verstanden, und beachtet, dass (-r-) — 1 ist, so ergiebt
sich:
Wenn (p-) - 1, so ist (P) -1j
*) Nach Gaussischer Ausdrucksweise bilden dann die Classen
K, PK2, I3,... KKm
die Periode der Classe K.