Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Die quadratischen Formen. 259
und
(+2, -1, c) gäbe c=F- +
also gerade, und wäre demnach keine eigentlich primitive
Form;
oder a q; in der Form (q, b, c) müsste b = sein,
da es nicht + sein kann, was die Form ergiebt
(q, - 1);
oder a c=- q; in diesem Falle entsteht die Form
(- q, 0, 1);
oder a = + 2q; der Werth b -=0 wäre wieder auszuschliessen, und der Werth b =+ q gäbe keine eigentlich
primitive Form.
Nun ist aber einerseits nach No. 13
(-q, 0, 1) ä,quiv. (1, 0, - q)
(q, 0, - 1) äquiv. (-1, 0, q);
andererseits ist
(- 1, 0, q) äquiv. (1, 0, — )
weil nach der ersten Vorbemerkung die Zahl- 1 durch
letztere Form ebensowohl wie durch erstere zur Wurzel 0
gehörig dargestellt werden kann. Also ist auch in dem
jetzigen zweiten besonderen Falle nur eine einzige
ambige Classe vorhanden.
Dem Satze zufolge, mit welchem wir No. 27 beschlossen
haben, ist also die Anzahl der Classen nicht äquivalenter eigentlich primitiver Formen für die beiden
soeben betrachteten Primzahl-Determinanten
D= - D==+q
( = 4n + 3) (g=4n + l)
eine ungerade Zahl.
30. Nachdem wir dies festgestellt haben, lässt sich der
Kummer'sche Beweis des Reciprocitätsgesetzes sehr
einfach darstellen.
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