Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

258 Vierter Abschnitt
Erstens sei D = - p, p eine Primzahl von der Form
4n +- 3; wir betrachten dann, wie immer bei negativen Determinanten, nur positive Formen dieser Determinante. Hier
kann nun a als Theiler von 2D nur folgende Werthe haben:
entweder a = 1; diesem Falle entspricht b = 0, also die
quadratische Form (1, 0, p);
oder a =- 2; da D - p ungerade, ist der Werth b = 0
auszuschliessen; für b --- 1 erhielte man die quadratische
Form
(2, + 1c), +
in welcher 1 - 2c = - p, d. h. c p - 2 n -- 2 also
gerade wäre; dieselbe wäre also keine eigentlich primitive
Form, auf welche wir unsere Betrachtung stets beschränkt
haben und auch jetzt beschränken;
oder a = p; die ambige Form wäre dann
(p, b, c)
und es müsste b = 0 sein, da nicht b = + -- sein kann; man
fände also die Form
(p, 0, 1),
welche nach No. 13 der Form (1, 0, p) äquivalent ist;
oder endlich a = 2p; der Werth b -- 0 wäre wieder
auszuschliessen, und der Werth b == +- gäbe eine nicht
eigentlich primitive Form. In diesem ersten Falle giebt
es also nur eine einzige ambige Classe.
Sei zweitens D -= + q, q eine Primzahl von der Form
4n +- 1. In diesem Falle kann a als Theiler von 2.D, da hier
auch negative Werthe zulässig sind, die folgenden Werthe
haben:
entweder a = 1; also b = 0; das giebt die Form
(1, 0, -);
oder a = - 1, b = 0, also die Form
(- 1, 0, A);
oder a = + 2; man hätte für b nur die Werthe 0 oder
+ 1, die jedoch auszuschliessen sind, denn
(- 2, 0, c) gäbe q = + 2c