Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Die quadratischen Formen. 257
also
(99) = p' 2 -pW 2.
Eine der beiden Formeln (98), (99) findet also mit Nothwendiglkeit statt. Wenn nun (-) + 1 ist, muss die erste
von ihnen stattfinden, sonst fände sich aus der zweiten
- 1 = p W2 (mod. p')
also wieder - 1 al quadratischer Rest von p'; aus der ersten
folgt aber dann
(P'))=1, also ()= -1.
Demnach:
Wenn (1) = + 1, so ist (-) -1.
Auf solche Weise ist mit Hilfe der Pell'schen
Gleichung der erste der acht Fälle (94), welche das
Reciprocitätsgesetz umschliesst, bereits erledigt.
Eine zweite Vorbemerkung betrifft die Anzahl
der ambigen Formenelassen für eine gegebene Determinante D.
Da, wie in No. 22 gezeigt worden ist, in jeder ambigen
Classe sich auch eine ambige Form findet, andererseits
aber die ambigen Formen nur in ambigen Classen enthalten
sein können, werden wir alle ambigen Classen repräsentiren,
wenn wir sämmtliche nicht äquivalente ambige Formen aufstellen. Nun war (a, b, c) eine ambige Form, sobald 2b-0
(mod. a) ist, und nach der Gleichung
2b2 - 2ac 2D
muss daher der erste Coefficient a nothwendig in 2D aufgehn. Da aber die Form (a, B, C) der Form (a, b, c) äquivalent ist, so oft bei gleicher Determinante B - b (mod. a)
ist, brauchen wir von vornherein nur solche ambige Formen
der gegebenen Determinante zu betrachten, bei welchen b < a
also entweder b= 0 oder b =1 +1 ist.
Nach diesen allgemein geltn gelden Bemerkungen beschränken
wir uns nun für unsern Zweck auf zwei einfache Fälle.
Bachmann, Die Elemente der Za.hlentheorie. 17