Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Die quadratischen Formnen. 255
So oft nun D von der Form 4n -- I ist, muss nothwendigerweise U gerade, T ungerade sein, weil andernfalls, nämlich
wenn T gerade und U ungerade wäre, die Gleichung als Congruenz (mod. 4) aufgefasst das unmögliche Resultat
- 1 -+ 1 (rmod. 4)
ergäbe. Setzt man hiernach U= 2 U', so erhält man
(95) T+ T - - D * U'2
wo die Faktoren links, weil ihre Differenz gleich der Einheit
ist, nothwendigerweise relative Primzahlen sind.
Wir betrachten nun nur zwei besondere Fälle, deren wir
für die Folge bedürfen.
Ist zuerst D = - q, q eine Primzahl von der Form
4n + 1, so nimmt die Gleichung (95) die Gestalt an:
2 -- U'2
2 2
und bedingt, wenn man eine Zerlegung von T' in zwei
relative Primfaktoren allgemein mit
U'-== F. W
bezeichnet, eine der beiden Folgerungen:
entweder
T -+ 1 2 - 1- w
2 ~ 2 T
also
(96) 1- V - qW2,
oder
T + 1 2 T l T1 T
also
(97) 1 -qV2 -- Tt2
Da jedoch W < U'< U ist, würde die Formel (96) der
Annahme widersprechen, dass die Zahlen T, U die F undainentalauflösung der Pell'schen Gleichung
2 - q U2 = 1
bedeuten; demnach muss die Formel (97) gelten, und man erhält den Satz: