Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

254 Vierter Abschnitt
Während wir daher auch diese Beweise, als nicht zu den
Elementen gehörig, hier von der weiteren Betrachtung ausschliessen müssen, ist es uns möglich, den andern Kummerschen Beweis zum Abschlusse unseres Werkes noch mitzutheilen, da er dadurch sich auszeichnet, dass er ausser der
Pell'schen Gleichung keine anderen Sätze voraussetzt, als
uns die Zusammensetzung quadratischer Formen bereits gelehrt hat.
29. Bedeuten p, p' zwei verschiedene Primzahlen von
der Form 4n + 3, ebenso q, q' zwei verschiedene Primzahlen
von der Form 4n + 1, so lässt sich der Inhalt des Legendre'schen Reciprocitatsgesetzes in die folgenden acht Behauptungen zerlegen:
Ö1. Wenn (p) -- + 1, so ist (P)- -- l
\p / ' \p/
4. - 1,, - 1
\q ~
(94) (
6. — l...
U. d ( in B p z 1
Um den Beweis dieser verschiedenen Behauptungen zu erbringen,
schicken wir zuerst eine einfache Bemerkung über
die Pell'sche Gleichung voraus. Bedeuten T, U für eine
gegebene Determinante D wieder ihre Fundamentalauflösung,
für welche bekanntlich U und damit auch T von allen Auflösungen den kleinsten Werth hat, so kann die Gleichung
172 - DU2 = 1
folgendermassen geschrieben werden:
(' + 1). (XT - 1)-. ) 2