Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Die quadratischen Formen. 253
schon vor Gauss namentlich von Lagrange*) bearbeitet
worden ist und ihre natürliche Lösung der eben genannten
Lehre entnimmt. Aus diesen Erwägungen halten wir es für
angemessen, den gesammten Abschnitt der Lehre von den
binären quadratischen Formen, welcher sich auf ihre Geschlechter bezieht, als eine wichtige Anwendung derjenigen
der ternären quadratischen Formen einzuverleiben und in
diesem, den Elementen der Zahlentheorie gewidmeten Werke
gänzlich davon abzusehen.
Wir müssen uns deshalb aber auch versagen, den zweiten
Gaussischen Beweis des Reciprocitätsgesetzes hier mitzutheilen, weil dieser durchaus auf der Vertheilung der Formenclassen in Geschlechter beruht und sie zu Hilfe nehmen muss.
Gelegentlich der Besprechung der verschiedenen Beweise jenes
Gesetzes haben wir aber von einer ganzen Kategorie von Beweisen gesprochen, welche durch den zweiten Gaussischen
charakterisirt sind, indem sie, wie auch er, die Lehre von den
quadratischen Formen zur Grundlage haben. Der eine dieser
Beweise, derjenige von Legendre, der irrthümlich von ihm
selbst als der erste strenge Beweis des Gesetzes angesehen
worden ist, nimmt, abgesehen von der Annahme gewisser
Primzahlen von vorgeschriebenen Eigenschaften, deren wirkliches Vorhandensein, wie früher bemerkt, erst von Dirichlet
nachgewiesen worden ist, einige Resultate, zu denen die Pellsche Gleichung führt, ausserdem aber die Bedingungen für die
Auflösbarkeit genau derselben Gleichung (93) zu Hilfe, auf
welche der Beweis des Gaussischen Satzes zurückkommt.
Von den beiden Beweisen, welche Kummer gegeben hat,
schliesst sich der erste dem Legendre'schen durchaus darin
an, dass er das Vorhandensein jener Primzahlen voraussetzt,
unterscheidet sich aber von ihm wesentlich dadurch, dass er
die Betrachtung der letztgenannten Gleichung vermeidet und
ausschliesslich mit der Pell'schen Gleichung allein operirt.
*) S. Euler's elemens d'Algebre, Additions ~ V: resolution de
l'equation
Ap2 + Bq2 == '
das. pag. 542. Vgl. Legendre in essai sur la theorie des nombres
1. partie ~~ 3 u. 4.