Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

252 Vierter Abschnitt
(a, - b, c); eine etwa noch vorhandene Classe K' zieht wieder
eine von ihr verschiedene entgegengesetzte Classe K] nach
sich, welche weder die Hauptclasse H sein kann, da sonst
auch K' und H übereinstimmten, noch auch eine der Classen
K, K, da sonst K' mit der andern dieser beiden Classen
übereinstimmen müsste; u. s. w. Die ausser der Hauptclasse
etwa noch vorhandenen Classen sind also immer paarweise
vorhanden, und folglich ist die Anzahl sämmtlicher Classen
eine ungerade.
28. Mit diesen Hauptsätzen über die Zusammensetzung
quadratischer Formen dürften wir, unseres Erachtens, an die
Grenze desjenigen Gebietes der Zahlentheorie gefüihrt worden
sein, welches füglich wohl als das elementare Gebiet derselben noch bezeichnet werden kann. Zwar liesse sich ohne
grössere Schwierigkeit und ohne Aufwand fremdartiger Hilfsmittel die von Gauss angegebene Vertheilung der Classen
äquivalenter Formen in sogenannte Geschlechter entwickeln,
eine Theorie, bei welcher die Lehre von der Zusammensetzung
der Formen ihre schönsten Anwendungen findet. Der Hauptsatz dieser Theorie, durch welchen der Nachweis gefüihrt
wird, dass die möglicherweise vorhandenen Geschlechter
auch wirklich vorhanden sind, durch welchen diese ganze
Theorie eigentlich erst ihr Ziel erreicht, kann jedoch nicht
erwiesen werden, ohne entweder, wie es Dirichlet gethan
hat, die höhere Analysis, oder einen Satz über Zusammensetzung von Formen zu Hilfe zu nehmen, der zwar zu den
ausgezeichnetsten Entdeckungen von Gauss gehört, aber seine
natirliche Begründung nur in einem höheren Gebiete der
Zahlentheorie, der Lehre von den ternären quadratischen
Formen, findet, den Satz: dass jede Classe des sogenannten
Hauptgeschlechtes durch Duplikation, d. i. durch Zusamimensetzung einer gewissen Classe mit sich selber
entsteht. Im Grunde kommt dieser Satz auf einen anderen
zurück, durch welchen über die Auflösbarkeit der Gleichung
(93) _.x2 + byg + -c - o
in ganzen Zahlen x, y, z entschieden wird, eine Frage, welche