Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Die quadratischen Formen. 251
K. K = H,
d. h.
21.C2/2 2/' 2 H
sein; bezeichnen rl, r2, r3,... r, die kleinsten positiven
Reste, welche hier die Exponenten nach deni Moduln
m>n n2 m,.g,... mA, resp. lassen, so lässt sich die Formel
einfacher auch so schreiben:
1 2 3 ct -
Nun ist aber auch
Co. 0 c0 oc. =J
C, ~ C~ C
* 2 3 u
und jede Classe ist nur einmal in der allgemeinen Formel
(90) enthalten; demnach müssen die Reste ri sämmtlich Null,
d.. 27h, 2h2, 2h3,... 27h< durch m1 m2 m2n3... imw resp.
theilbar sein. Ist ini ungerade, so ist 2hk nicht anders theilbar durch ini, als wenn hi = 0 ist; für ein gerades nsi kann
hi ausser diesem Werthe auch noch den Werth h7 =- - haben.
Die Formel (92) liefert also sämmtliche ambige Classen, indem man für die Exponenten hi je diesen einen, resp. diese
zwei zulässigen Werthe wählt. Sind demnach t von den
Exponenten mn1 m2, m,..,. der Fundamentalclassen
gerade, - und zwar müssen dies dann die ersten t sein,
da ja jeder der Exponenten ein Vielfaches des folgenden ist -,
so wird die Anzahl der ambigen Classen gleich 21
sein.
Ist in und deshalb auch alle übrigen Exponenten
und folglich auch die Classenanzahl h ungerade, so
ist /t = 0, also nur eine ambige Classe vorhanden,
und umgekehrt.
Die Umkehrung ergiebt sich übrigens sehr einfach auch folgendermassen. Ist für eine gegebene Determinante nur eine einzige ambige Classe vorhanden, so ist dies
die Hauptclasse, welche stets ambige ist; zu jeder andern
Classe KT, als deren Repräsentant (a, b, c) gelte, giebt es
dann eine von ihr und von der Hauptclasse verschiedene
ihr entgegengesetzte Classe K, mit dem Repräsentanten