Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

248 Vierter Abschnitt
Zweitens ist leicht einzusehen, dass durch die
Zusammensetzung zweier entgegengesetzter Classen
K und K, die Hauptclasse entsteht. Seien
(a, b, c) und (a, - b, c)
die Repräsentanten der beiden Classen und a' eine durch die
zweite Form eigentlich darstellbare zu a relativ primle Zahl,
b' die Wurzel der Congruenz x2 - D (mod. a'), zu welcher
diese Darstellung gehört. Man kann eine Zahl B den Bedingungen
B - b (mod. a), B - b' (mrod. a'), B2 - D (mod. aa')
gemäss bestimmen; und wenn dann
B2 - D C
aa
gesetzt wird, so dürfen auch die beiden folgenden zusalmmensetzbaren Formen
(a, B, a'C), (a', B, aC)
zu Repräsentanten der Klassen K, ]K gewählt werden. Ihre
Zusammensetzung liefert die Form
(aa, B, C).
Andererseits kann a', weil es durch die Form (a, - b, c)
zur Wurzel b' gehörig dargestellt wird, durch die entgegengesetzte Form (a, b, c) zur entgegengesetzten Wurzel - b'
gehörig dargestellt werden, und daraus folgt nach No. 23, 1),
dass das Produkt aa' durch die Hauptform zu einer Wurzel
N gehörig dargestellt werden kann, für welche die Congruenzen stattfinden:
N-, - b (mod. a), - o b' (mod. a')
und welche demnach mit der Wurzel -- B (mrod. aa') identisch ist; weil die Hauptform aber ambige ist; gestattet somit
aa' auch eine zur Wurzel +- B gehörige Darstellung durch
die Hauptform, gerade wie durch die Form (aa', B, C), deren
Aequivalenz mit der Hauptform dadurch erwiesen ist. Es ist
mit andern Worten
KKT -= K K -= H.