Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Die quadratischen Formen. 247
ist, und die Forimen
(a, B, a'a"C), (a', B, "aC), (a", B, aa'C),
in denen
a (tl C
ist, sind jenen drei Repräsentanten resp. äquivalent. Aus
ihnen findet man durch Zusammensetzung
(a, B, a'a"C) (a', B, a"a C) = (aa, B, a C)
als Repräsentanten der Classe KK' und
(aa B ) (a, B, aa", a, 'C) = (a a'a, B, C)
als Repräsentanten der Classe (KK') K". Desgleichen
(a', B, a "a) - (a", B, a a'C) = (a'a, B, aC)
als Repräsentanten der Classe K'K" und
(a, B, a'a" C). (a'a, B, aC)= ( a'a, B, C)
als Repräsentanten der Classe K. (K'K"), der, weil er mit
demjenigen der Classe (KK') - K" übereinstimmt, ihre Identität mit jener erweist.
Man kann hinzufügen, dass die Multiplikation
der Formenclassen auch einpaarig ist. Wir zeigen, um
dies nachzuweisen, zunächst, dass die Hauptclasse bei der
Zusammensetzung der Classen die Rolle der Einheit spielt,
d. h. dass jede Classe mit der Hauptclasse zusammengesetzt sich wieder herstellt. Ist nämlich (a, b, c) der
Repräsentant jener Classe, so kann man schreiben:
x2 Dy 2 x_ '2 + 2bx'y+ acy'2,
wenn
x'-x-by y'=y
gesetzt wird, d. h. die Form (1, b, ae) geht durch die Substitution 0 -- in die Hauptform über und ist ihr also
äquivalent. Diese Form ist aber zusammensetzbar mit der
gegebenen Form (a, b, c) und giebt nach der Formel (F):
(1, b6,ac) (a, b, c) = (a, b, c),
d. i. als zusammengesetzte Form die Form (a, b, c) selbst,
womit die Behauptung erwiesen ist. Bezeichnet man die
Hauptclasse mit H, so gilt also allgemein die Formel
(89) HEI = KH = K.