Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Die quadratischen Formen. 245
(a1Cti, Bl, (h)
zusammengesetzt. Geht man daher, statt von den Formen (87),
von den Formen (86) aus, so muss nach dem zuvor Bewiesenen das Produkt mnm' durch diese letzte Form zur Wurzel
(N, mm') gehörig darstellbar sein, dann aber auch so durch
die Form (aa', B, C), welche ihr äquivalent ist, weil durch
beide Formen die Zahl ala] zur Wurzel B1 gehörig dargestellt
werden kann.
26. Nunmehr aber kann dem Dirichlet'schen Satze ein
anderer Ausdruck gegeben werden, der ihn zum Ausgangspunkte einer ganz neuen Reihe von Betrachtungen macht.
Setzt man
X2f D
_ -D L
so sind die Formen
(88) (n, 1V, m'L), (m', NV, mL), (mm', 1V, L)
den Formen
(a, B, a'C), (a', B, aC), (ac, B, C)
resp. äquivalent, weil durch die drei ersten die Zahlen m, m',
nm' resp. ebensowohl wie durch die drei letzten zur Wurzel
1V gehörig dargestellt werden können. Andererseits ist die
dritte der Formen (88) aus den beiden ersten zusammengesetzt. Demnach lehrt der Dirichlet'sche Satz zugleich
diesen andern:
Wie auch aus den Classen K und K' (die auch
identisch sein dürfen) zwei zusammensetzbare Formen
ausgewählt werden mögen, die daraus zusammengesetzte Form gehört allemal zu einer und derselben
dritten Classe von Formen, welche also, unabhängig
von der individuellen Wahl jener beiden Formen, nur
durch die Classen bestimmt ist, denen sie angehören.
Man nennt die dritte Classe deshalb aus den
Classen K und K' zusammengesetzt oder, indem man
diese Zusammensetzung, der Formel (F) oder (Fa) entsprechend, als eine Multiplikation*) auffasst, das Produkt aus den Classen K und K', in Zeichen:
K n K'.
*) Gauss hat es vorgezogen, sie als eine Addition zu fassen.