Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

244 Vierter Abschnitt
also, mit Rücksicht auf die Congruenz
N2 --- D (mod. mmn')
auch diese andere:
[(aa + By) (a'-'+ By') + D yy'j
+ N [(Ca a + By) y' - (a'a - B y')y 1
d. i.
aa'A + BF + Nr _ (mod. mim'),
eine Congruenz, welche, da r relativ prim sein muss zum
Modulus, weil dieser es ist zu aa', früheren Sätzen (No. 5)
zufolge die Darstellung als zur Wurzel (N, nmm') gehörig
erweist.
2) Die Beschränkung, welche den Zahlen m, m' bisher
auferlegt war, gegen aa' prim zu sein, lässt sich leicht
folgendermassen heben. Im Falle sie es nämlich nicht sind,
wähle man, was nach No. 4 möglich ist, unter den durch die
Form (a, B, a'C) eigentlich darstellbaren Zahlen eine Zahl
a, welche nicht nur zu aa', sondern auch zu mnm' prim ist,
und sodann unter den durch die Form (a', B, aC) eigentlich
darstellbaren Zahlen eine Zahl ai, welche ausser zu den Zahlen
aa' und mm' auch noch zu a1 relativ prim ist. Die Wurzeln
(b1, aß) und (bi, a)), zu welchen die gedachten Darstellungen
von al al gehören, sind vereinbar, und die aus ihnen zusammengesetzte Wurzel (B2, atai) so beschaffen, dass
B, - bl (mod. al), B1 - b6 (mod. ai)
ist. Dem bereits Bewiesenen zufolge ist nun das Produkt a1af
durch die Form (aa', B, C) zur Wurzel B1 gehörig eigentlich darstellbar. Andererseits sind die Formen
(86) (al, B~, ai1), (ai, B, a,1C1),
in welchen
1 alD
ist, resp. den Formen
(87) (a B, a '), (a', B, aC)
äquivalent, denn durch die erste von diesen ist al zur Wurzel
B1i, b1 (mod. a), durch die zweite ist ai zur Wurzel B1 — b
(mod. al) gehörig darstellbar; und aus jenen beiden Formen
ist die Form