Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Die quadratischen Formen. 243
(81) m'= a a'2 + 2B a''+ a Cy"
eine eigentliche Darstellung von m' durch die Form (a', B, aC),
und (n', m') die Wurzel, zu der sie gehört; endlich sei (N, mmn')
die aus (n, n) und (', nm') zusammengesetzte Wurzel, sodass
N-n (mod. mn), N -n' (mod. mn')
ist, also auch
(n, mi) -= (N, m), (n', m') = (N, m')
gesetzt werden kann.
Dies vorausgeschickt, folgt nun aus (80) die Congruenz
(82) aa y + +Ny = 0 (mod. m),
sowie die, nach No. 23 eigentliche, Darstellung von am
durch die Hauptform:
(83) am = (a a + By)2 - D)2.
Desgleichen ergiebt sich aus (81) die Congruenz:
(84) 'a'+ By'+ Ny'- 0 (mod. m'),
sowie die eigentliche Darstellung von a'm' durch die
Hauptform:
(85) a~',m'= (a'a'+ By')2 - Dy'2.
Mittels der Identität (F) voriger Nummer aber ergiebt
sich alsdann die Gleichung
mm' = aa' 2 + 2+ 2B AF + C. r2,
wenn unter A, r die Werthe verstanden werden:
A = a'- Cyy', r = (aa + Bry)y'+ (a'a'+ By')y,
also eine Darstellung von mm' durch die Form
(aa', B, C),
von welcher man sogleich zeigen kann, dass sie eine
eigentliche Darstellung ist. Hätten nämlich A, r und
folglich auch aa'A + Br und r einen gemeinsamen Theiler, so
müsste dieser nach No. 23 auch gemeinsamer Theiler sein von
am, an', während doch diese Zahlen den gemachten Voraussetzungen nach keinen gemeinsamen Theiler haben.
Diese Darstellung gehört aber auch zur Wurzel (N, mm');
denn aus den Congruenzen (82) und (84) folgt
(aa + By + Ny) (a'a'+ By'+.y')- 0 (mod. m'm)
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