Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

242 Vierter Abschnitt
tischen Formen, in ihrer ganzen Allgemeinheit aufgedeckt zu
haben, gebührt Gauss, welcher diesem Gegenstande, de compositione formarum, seine Disquisitiones arithmeticae von
Art. 234 an hauptsächlich gewidmet hat.
25. Die arithmetische Bedeutung solcher Zusammensetzung ist zuerst von Dirichlet ausgesprochen
worden. *)
Es bedeute nämlich m, m' irgend eins der Paare
relativer Primzahlen, von denen die erstere durch die
Form (a, B, a'C), die zweite durch die Form (a', B, ctC)
eigentlich darstellbar ist. Dass es solcher Paare eine
unendliche Menge giebt, folgt mit Rücksicht auf den Satz in
No. 4 sogleich aus dem Umstande, dass durch eine Form
(a, b, c) unendlich viel verschiedene Zahlen darstellbar sind,
was daraus ersichtlich wird, dass die Form
ax2 + 2bxy + cy = - [(ctx + by)2 - Dy2],
wenn der ganzen Zahl y ein besonderer Werth beigelegt wird,
und die ganze Zahl x dann alle möglichen Werthe annimmt,
über jede Grenze hinaus wächst. Für jedes Paar solcher
Zahlen in, m' wird die Wurzel (n, in), zu der eine Darstellung von m, und die Wurzel (n', mn'), zu der eine Darstellung von m' gehört, mit einander vereinbar sein; und es
gilt nun der folgende Satz:
Das Produkt der beiden Zahlen M, m' gestattet
durch die zusammengesetzte Form (aa', B, C) eine
eigentliche Darstellung, welche zu der aus den
Wurzeln (n, m), (n', in') zusammengesetzten Wurzel
gehört.
1) Um diesen wichtigen Satz zu beweisen, setzen wir
zunächst voraus, dass die Zahlen m, m' prim sind zu aa,
wie es solche durch die gedachten beiden Formen darstellbare
Zahlen nach No. 4 stets giebt. Sei dann
(80) m = clao2 + 2 Bayr + a'Cv2
eine eigentliche Darstellung von m durch die Form (a, B, a'C),
und (n, mi) die Wurzel, zu der sie gehört; desgleichen
*) In der oben angefihrten akademischen Gelegenheitsschrift.