Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

240 Vierter Abschnitt
gleich durch mi und durch m' theilbar wird, ist sie auch theilbar durch mmn', d. h. auch die dritte der Congruenzbedingungen
(76) erfüllt. Die bestimmte Wurzel (N, rmm'), welche
diesen drei Congruenzbedingungen entspricht, soll
aus den Wurzeln (n, n), (n', m') zusammengesetzt
heissen.
24. Wir treten nunmehr unserm Vorhaben näher und
betrachten irgend zwei Classen K, K' äquivalenter eigentlich
primitiver Formen der Determinante D. Ist a irgend eine
der Zahlen, welche durch die Formen der Classe K eigentlich
darstellbar sind, b die Wurzel der Congruenz x2 - D (mod. a),
zu welcher eine solche Darstellung gehört, und —_ c,
so kann die Form (a, b, c) als Repräsentant der Classe K
gewählt werden. Nach No. 4 giebt es eine zu a prime Zahl
a', welche durch die Formen der andern Classe K' eigentlich
darstellbar ist; heisst b' die Wurzel der Congruenz x2 - D
(mod. a'), zu welcher die Darstellung gehört, und - - = c
so kann die Form (a', b', c') als Repräsentant der Classe 1K'
angesehen werden. Nach der Schlussbemerkung der vorigen
Nummer giebt es aber eine ganze Zahl B von der Beschaffenheit, dass
B b (mod. a), B E b' (mod. a'), B2 D (mod. aa')
-B2 - D
und demnach, — C eine ganze Zahl ist.
aa
Man erhält hiernach drei quadratische Formen
(77) (a, B, a'C), (a', B, a), (aa', B, C)
derselben Determinante D, von welchen die erste der Form
(a, b, c), die zweite der Form (a', b', c') äquivalent ist, denn
durch die beiden erstgenannten ist die Zahl a zu derselben
Wurzel b - B (mod. a) gehörig, durch die beiden letztgenannten die Zahl a' zur selben Congruenzwurzel b'_ B
(mod. a') gehörig darstellbar.
Die Formen
(a, B a'C), (a', B, aC),
welche demnach auch als Repräsentanten der Classen
K, K' gewählt werden dürfen, wollen wir zusammen