Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

Die quadratischen Formen. 237
2n == mn (L-^r - Qs),
d. i. 2n ist theilbar durch m oder die Form
/ n2 _ JA
(m, ILWn, --- )
ist eine ambige Form; da sie, wie bemerkt, mit (a, - b, c)
äquivalent ist, so ist sie es auch mit (a, b, c) und hiermit
ist der Satz bewiesen.
23. Unter allen quadratischen Formen der Determinante
D spielt, wie schon bemerkt, die Form
2 - Dy2,
welche die Zugehörigkeit zur Determinante D am ersichtlichsten erkennen lässt, eine besonders hervorragende Rolle.
Wir trafen auf diese Form u. a. bei der Pell'schen Gleichung
x2 - Dy2 = 1,
und hatten bei dieser Gelegenheit (in No. 6) auch einer ausgezeichneten Eigenschaft derselben Erwähnung zu thun, welche
sich ausdrückte in der Formel (F) daselbst oder in dem Satze:
Wird die Form x2 - Dy2 mit sich selbst zusammengesetzt, so geht dieselbe Form wieder hervor. Man
nennt nun um ihrer hervorragenden Bedeutung willen diese
Form die Hauptform der Determinante D, und die
Formenclasse, welcher sie angehört und als geeignetster Repräsentant dient, die Hauptclasse. Der letzten Nummer
zufolge ist die Hauptform sowohl, wie die Hauptclasse
eine ambige.
Indem wir uns im Folgenden dazu wenden wollen, nachzuweisen, wie die Gleichung (F) nur der einfachste Fall eines
sehr allgemeinen Satzes oder die in ihr ausgesprochene Eigenschaft der Hauptform nur die prägnanteste Erscheinung einer
allgemeinen Eigenschaft der quadratischen Formen überhaupt
ist, schicken wir zunächst noch ein paar Bemerkungen über
die Hauptform voraus, von denen wir dabei werden Gebrauch
zu machen haben.
1) Nehmen wir an, mittels der Werthe x = a, y- y
sei m durch eine Form (a, b, c) von der Determinante D
eigentlich darstellbar, sodass
(75) m = aa2 + 2bay + cy