Die Elemente der Zahlentheorie / dargestellt von Paul Bachmann.

236 Vierter Abschnitt.~~1 __.
_ - = 1
y -1
Drückt - diese zwei gleichen Verhältnisse in einfachster Form
aus, sodass A, v relative Primzahlen sind, so findet sich
(72) a + 1 = - r, = vr
(73) p = s, a- =vs,
unter r, s ganze Zahlen verstanden. Nun können zwei ganze
Zahlen t, Q durch die Gleichung;t9 - Lv -- 1
bestimmt werden; setzt man dann
(74) in a, - 2bXv + cv'
(j ~n =(cAA - bv) t - (bA -(A CV),
so besagen diese drei Gleichungen, dass die Zahl mn durch
die Form (a, - b, c) zur Wurzel n gehörig dargestellt wird
und demnach die Form! ~n2 -D
(inn, — D)
der Form (a, -b, c) äquivalent ist. Es findet sich aber
mnr2 = c(a + 1)2 - 2b(a + -l)y + cy
oder, vereinfacht mit Rücksicht auf (65),
m r2 =2 (a(a + 1) - b)
also
nmr = 2(aÄ - bv);
ebenso,bs = a32 - (- 2b(a- 1) + c( -- 1)2
oder, vereinfacht mit Rücksicht auf (70),
as' 2(bo - c(o ))
also
ms = 2(b - cv).
Hiernach erhält man
*) oder auch — 1 eine Gleichheit, welche jedoch der
y - 4l
obigen gleichgilt, da nur -a statt a steht, das Vorzeichen von a aber
beliebig gewählt werden kann.